Vektoranalüüs, matemaatika haru, mis tegeleb suurustega ja suunaga suurustega. Mõningaid füüsikalisi ja geomeetrilisi suurusi, mida nimetatakse skalaarideks, saab täielikult määratleda, täpsustades nende suuruse sobivates mõõtühikutes. Seega saab massi väljendada grammides, temperatuuri kraadides mingil skaalal ja aega sekundites. Skaalareid saab graafiliselt esitada punktidega mõnel arvulisel skaalal, näiteks kellal või termomeetril. Samuti on olemas vektoriteks nimetatavad kogused, mis nõuavad suuna ja suuruse täpsustamist. Kiirus, jõud ja nihkumine on vektorite näited. Vektori kogust saab graafiliselt esitada suunatud sirgesegmendi abil, mida sümboliseerib vektori koguse suunas suunatud nool, kusjuures segmendi pikkus tähistab vektori suurust.
analüütiline geomeetria: vektorianalüüs
Mis tahes mõõtmega eukleidilises ruumis saab vektoreid - suunatud joonelõike - koordinaatide abil määrata. N-paar (a1, .
Vektorialgebra.
Vektori prototüüp on suunatud sirglõik AB (vt joonis 1), mille kohta võib arvata, et see esindab osakese nihkumist algsest asendist A uude positsiooni B. Vektorite eristamiseks skalaaridest on tavaks tähistada vektoreid rasvases kirjas. Seega saab vektorit AB joonisel 1 tähistada a-ga ja selle pikkust (või ulatust) | a |. Paljude probleemide korral pole vektori lähtepunkti asukoht ebaoluline, nii et kahte vektorit peetakse võrdseks, kui neil on sama pikkus ja sama suund.
Kahe vektori a ja b võrdsust tähistatakse tavalise sümboolse märkega a = b ning vektorite elementaarsete algebraliste toimingute kasulikud määratlused on esitatud geomeetria abil. Seega, kui AB = a joonisel 1 tähistab osakese nihkumist punktist A punkti B ja seejärel viiakse osake osakese C, nii et BC = b, siis on selge, et ümberpaigutamise A-st C-ni saab teostada ühe nihkega AC = c. Seega on loogiline kirjutada a + b = c. See summa a, b, a ja b konstrueerimine annab sama tulemuse kui rööpküliku seadus, milles saadud c antakse vektoritele AB ja AD külgedena konstrueeritud rööpküliku diagonaaliga AC. Kuna vektori BC = b algpunkti B asukoht ei ole oluline, järeldub sellest, et BC = AD. Joonis 1 näitab, et AD + DC = AC, nii et kommutatiivne seadus
hoiab vektori lisamiseks. Samuti on lihtne näidata, et assotsiatsiooniseadus
on kehtiv ja seega võib lõike 2 sulud ilma mitmetähenduslikkuseta jätta.
Kui s on skalaar, siis sa või nagu on määratletud kui vektor, mille pikkus on | s || a | ja mille suund on a, kui s on positiivne ja vastupidine a, kui s on negatiivne. Seega on a ja -a vektorid suurusjärgus võrdsed, kuid suunaga vastupidised. Eelnevad definitsioonid ja skalaararvude tuntud tunnused (mida tähistavad s ja t) näitavad seda
Kuivõrd seadused (1), (2) ja (3) on identsed tavalises algebras esinevatega, on üsna õige kasutada vektorite sisaldavate lineaarsete võrrandite süsteemide lahendamiseks tuttavaid algebralisi reegleid. See asjaolu võimaldab tuletada puhtalt algebralise vahendi abil sünteetilise eukleidilise geomeetria paljusid teoreeme, mis nõuavad keerulisi geomeetrilisi konstruktsioone.
Vektorite produktid.
Vektorite korrutamine annab kahte tüüpi saadusi, punkt-produkti ja rist-produkti.
Kahe vektori a ja b punkti- või skalaarkorrutis, kirjutatud a · b, on reaalarv | a || b | cos (a, b), kus (a, b) tähistab nurka a ja b suuna vahel. Geomeetriliselt,
Kui a ja b on täisnurga all, siis a · b = 0 ja kui kumbki a ega b ei ole nullvektor, siis punkt-korrutise kadumine näitab, et vektorid on risti. Kui a = b, siis cos (a, b) = 1 ja a · a = | a | 2 annab ruudu pikkuse a.
Elementaarse algebrani assotsiatiivsed, kommutatiivsed ja jaotuvad seadused kehtivad vektorite punktide korrutamisel.
Kahe vektori a ja b rist- või vektorprodukt, kirjutatud a x b, on vektor
kus n on a ja b tasapinnaga risti asetsev vektor, mis on suunatud nii, et parempoolne kruvi, mis on pööratud b poole, liigub n suunas (vt joonis 2). Kui a ja b on paralleelsed, siis a x b = 0. × b suurust võib tähistada rööpküliku pindalaga, millel a ja b on külgnevad küljed. Kuna pöörlemine b-st a-ni on vastupidine a-st b-le,
See näitab, et risttulem ei ole kommutatiivne, vaid assotsiatsiooniseadus (sa) × b = s (a × b) ja jaotusseadus
kehtivad risttoodete puhul.
Koordinaatsüsteemid.
Kuna füüsika empiirilised seadused ei sõltu füüsiliste suhete ja geomeetriliste konfiguratsioonide esitamiseks valitud võrdlusraamide erilistest või juhuslikest valikutest, on vektorianalüüs ideaalne vahend füüsilise universumi uurimiseks. Spetsiaalse referentsraami või koordinaatsüsteemi juurutamine tuvastab vektorite ja selles kaadris olevate vektorite komponente esindavate numbrikomplektide vahelise vastavuse ning indutseerib nende numbrikomplektide jaoks kindlad tööreeglid, mis tulenevad joonel tehtavate operatsioonide reeglitest segmendid.
Kui valitakse mõni konkreetne kolmest mittelineaarsest vektorist koosnev komplekt (nimetatakse baasvektoriteks), siis saab ükskõik millist vektorit A ekspresseerida kordumatult rööptahuka diagonaalina, mille servad on A komponendid baasvektorite suundades. Tavakasutuses on kolmest vastastikku ortogonaalsest ühikvektorist koosnev komplekt (st vektorid pikkusega 1) i, j, k, mis on suunatud mööda tuttava Descartes'i viiteraami telgi (vt joonis 3). Selles süsteemis saab väljend kuju
kus x, y ja z on A projektsioonid koordinaattelgedel. Kui kaks vektorid 1 ja A- 2 on kujutatud
siis saadab nende summa seaduste kasutamine (3)
Seega on Descartes'i raamistikus A 1 ja A 2 summa vektor, mis on määratud (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3). Samuti saab punkttoote kirjutada
alates
Seaduse kasutamine (6) annab
nii, et ristsuurus on vektor, mis on määratud arvude kolmekordse väärtusega, mis ilmnevad i, j ja k koefitsientidena (9).
Kui vektoreid esindavad 1 × 3 (või 3 × 1) maatriksid, mis koosnevad vektorite komponentidest (x 1, x 2, x 3), on võimalik valemeid (7) kuni (9) ümber sõnastada järgmises keeles: maatriksid. Selline ümbersõnastamine viitab vektori mõiste üldistamisele kolmemõõtmelistele ruumidele. Näiteks sõltub gaasi olek tavaliselt rõhust p, ruumalast v, temperatuurist T ja ajast t. Numbrite nelikut (p, v, T, t) ei saa tähistada punktiga kolmemõõtmelises võrdlusraamis. Kuid kuna geomeetrilisel visualiseerimisel pole algebralistes arvutustes mingit rolli, saab geomeetria kujundlikku keelt siiski kasutada, viies sisse neljamõõtmelise võrdlusraami, mis on määratud baasvektorite a 1, a, 2, 3, 4 komplektiga, mille komponendid on määratud maatriksi read
Seejärel on vektor x esitatud kujul
nii et neljamõõtmelises ruumis määratakse iga vektor komponentide nelinurgaga (x 1, x 2, x 3, x 4).
