Pidevhüpotees, kogumiteooria väide, et reaalarvude kogum (pidevus) on teatud mõttes nii väike kui võimalik. 1873. aastal tõestas saksa matemaatik Georg Cantor, et kontinuum on loendamatu - see tähendab, et reaalarvud on suurem lõpmatus kui loendusarvud - põhitulemus komplekti teooria kui matemaatilise subjekti alustamisel. Lisaks töötas Cantor välja viisi lõpmatute komplektide suuruse klassifitseerimiseks vastavalt selle elementide arvule või kardinaalsusele. (Vt komplektiteooria: kardinaalsus ja piirmääratud numbrid.) Nendes tingimustes võib kontinuumi hüpoteesi väita järgmiselt: kontinuumi kardinaalsus on väikseim loendamatu kardinalarv.
seatud teooria: kardinaalsus ja piirmääratud arvud
oletust, mida tuntakse pideva hüpoteesina.
Cantori märkuses saab pidevhüpoteesi väita lihtvõrrandiga 2 ℵ 0 = ℵ 1, kus ℵ 0 on lõpmatu loendatava kogumi (näiteks naturaalarvude komplekti) kardinaalne arv ja suurema „ hästi tellitavad komplektid ”on ℵ 1, ℵ 2,
, ℵ α,
, indekseeritud järjenumbritega. Pidevuse kardinaalsus võib olla võrdne 2 ℵ 0; seega välistab kontinuumi hüpotees suurusjärkude komplekti olemasolu naturaalarvude ja kontinuumi vahel.
Tugevam väide on üldistatud pidevhüpotees (GCH): 2 ℵ α = ℵ α + 1 iga järgarvu α kohta. Poola matemaatik Wacław Sierpiński tõestas, et GCH abil saab tuletada valitud aksioomi.
Nagu ka valitud aksioom, tõestas Austria päritolu Ameerika matemaatik Kurt Gödel 1939. aastal, et kui teised standardsed Zermelo-Fraenkeli aksioomid (ZF; vt
tabel) on järjepidevad, siis ei lükka nad ümber pidevuse hüpoteesi ega isegi GCH-d. See tähendab, et GCH lisamine teistele aksioomidele jääb ühtlaseks. Siis lõi 1963. aastal ameerika matemaatik Paul Cohen pildi, näidates jällegi eeldusel, et ZF on järjekindel, et ZF ei anna pidevuse hüpoteesi tõestust.
Kuna ZF ei tõesta ega lükka ümber pidevhüpoteesi, jääb endiselt küsimus, kas nõustuda pidevushüpoteesiga, mis põhineb mitteametlikul kontseptsioonil selle kohta, mis on komplektid. Üldine vastus matemaatikakogukonnas on olnud eitav: pidevhüpotees on piirav väide olukorras, kus pole teada põhjust piirmäära kehtestamiseks. Hulgateooria võimsuse komplekt operatsiooni süsteem annab iga komplekt kardinaalsusega ℵ a selle komplekti kõikide alarühmade, mis on kardinaalsusega 2 ℵ a. Tundub, et pole põhjust kehtestada piirid alamhulkadele, mis lõpmatul hulgal võivad olla.
