Formaalne loogika

Semantiline tabel

Alates 1980. aastatest on populaarsuse saavutanud teine ​​meetod argumentide paikapidavuse määramiseks nii personaalarvutites kui ka LPC-des, seda nii õppimise lihtsuse kui ka arvutiprogrammide abil lihtsa rakendamise tõttu. Algselt soovitas seda Hollandi loogik Evert W. Beth, kuid Ameerika Ühendriikide matemaatik ja loogik Raymond M. Smullyan töötas selle põhjalikumalt välja ja avaldas seda. Jälgides tähelepanekuga, et kehtiva argumendi eeldustel on võimatu olla tõene, samas kui järeldus on vale, püütakse selle meetodiga tõlgendada (või hinnata) ruume nii, et need kõik oleksid samaaegselt rahuldatud, ja järeldus on ka rahul. Sellise ettevõtmise õnnestumine näitab argumendi kehtetust, samas kui sellise tõlgenduse leidmata jätmine näitab selle õigsust.

Semantilise tabeli konstrueerimine toimub järgmiselt: väljendage PC-s argumendi järelduse väited ja eitus, kasutades ainult eituse (∼) ja disjunktsiooni (∨) kui ettepanekulisi ühendusi. Kõrvaldage kahe eituse märgi esinemine jadas (nt ∼∼∼∼∼a muutub ∼a). Nüüd konstrueerige allapoole hargnev puu diagramm nii, et iga disjunktsioon asendatakse kahe haruga, üks vasaku disjunktsiooni ja teine ​​parempoolse haru jaoks. Algne disjunktsioon on tõene, kui kumbki haru on tõene. Viide De Morgani seadustele näitab, et disjunktsiooni eitamine on tõene juhul, kui mõlema disjunktsiooni eitus on tõene [st ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. See semantiline vaatlus viib reeglini, et disjunktsiooni eitus muutub üheks haruks, mis sisaldab iga disjunktsiooni eitust:

Mõelge järgmisele argumendile:

Kirjutage:

Nüüd eemaldage disjunktsioon ja moodustage kaks haru:

Ainult siis, kui kõik vähemalt ühes harus olevad laused on tõesed, on algsed eeldused tõesed ja järeldus vale (samamoodi järelduse eitamise kohta). Jälgides joont igas harus ülespoole puu tippu, täheldatakse, et vasakpoolses harus oleva a väärtuse määramisel ei saa kõik selle haru laused väärtust true (a ja ∼a olemasolu tõttu). Sarnaselt muudab parempoolses harus olevate b ja ∼b olemasolu hindamise võimatuks tulemuseks filiaali kõik laused, mille väärtus on tõene. Need on kõik võimalikud harud; seega on võimatu leida olukorda, kus eeldused on tõesed ja järeldus vale. Seega on algne argument kehtiv.

Seda tehnikat saab laiendada ka muude ühenduste jaoks:

Lisaks tuleb LPC-s kehtestada reeglid kvantifitseeritud wff-de kiirendamiseks. On selge, et iga haru, mis sisaldab nii (∀x) ϕx kui ∼ϕy, on selline, milles mitte kõiki selle haru lauseid ei saa üheaegselt rahuldada (ω-konsistentsi eeldusel; vt metaloogika). Jällegi, kui kõiki harusid ei õnnestu üheaegselt rahuldada, kehtib algne argument.

Spetsiaalsed LPC süsteemid

Nagu eespool selgitatud, võib LPC-d muuta, piirates või laiendades wff-i vahemikku mitmel viisil:

• 1.PPC osalised süsteemid. Siin on esitatud mõned olulisemad süsteemid, mida piirangutega toodetakse:

  • a.Võib nõuda, et iga predikatiivne muutuja oleks monadiline, võimaldades siiski lõpmatul hulgal individuaalseid ja predikatiivseid muutujaid. Aatomiaatomid on siis lihtsalt sellised, mis koosnevad predikaatmuutujast, millele järgneb üksik individuaalne muutuja. Muidu jäävad moodustamise reeglid samaks nagu enne ja kehtivuse määratlus on samuti nagu varem, ehkki neid on ilmselgelt lihtsustatud. Seda süsteemi nimetatakse monaadseks LPC-ks; see pakub omaduste, kuid mitte suhete loogikat. Selle süsteemi üks oluline omadus on see, et see on otsustatav. (Isegi ühe dyadilise predikaatmuutuja kasutuselevõtt muudaks süsteemi määramatuks ja tegelikult on osutunud määramatuks ka süsteem, mis sisaldab ainult ühte dyadic predikaatmuutujat ja mitte ühtegi muud predikaatmuutujat.)

  • b) Veelgi lihtsama süsteemi saab moodustada nõudes (1), et iga predikaatmuutuja oleks monadiline, (2) et kasutataks ainult ühte individuaalset muutujat (nt x), (3) et selle muutuja kõik esinemised oleksid seotud ja (4) kvantifitseerijat ei toimu ühegi teise piires. Selle süsteemi wffide näited on (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] (“Mis iganes on, on nii ψ kui χ”); (∃x) (ϕx · ∼ψx) (“On midagi, mis on ϕ, kuid mitte ψ”); ja (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) (“Kui mis iganes on ϕ on ψ, siis on midagi nii ϕ kui ψ”). Selle süsteemi märkimist saab lihtsustada, kui jätate x kõikjal ja kirjutate ∃ϕ sõnadele „Midagi on ϕ”, ∀ (ϕ ⊃ ψ) sõnadele „Mis on, see on ψ” jne. Kuigi see süsteem on algelisem isegi kui monaadne LPC (millest see on fragment), võivad selles olla esindatud mitmesugused järeldused. See on ka otsustatav süsteem ja selle jaoks võib anda elementaarse otsusemenetluse.

• 2.LVC laiendid. Täpsemad süsteemid, milles saab väljendada laiemat valikut, on konstrueeritud, lisades LPC-le uusi eri tüüpi sümboleid. Selgeimad sellised täiendused on:

  • a.Üks või enam individuaalset konstanti (näiteks a, b,

    ): neid konstante tõlgendatakse konkreetsete isikute nimedena; formaalselt eristatakse neid üksikutest muutujatest selle poolest, et need ei saa kvantitaatorites esineda; nt (∀x) on kvantifikaator, kuid (∀a) mitte.

  • b.Üks või enam predikatiivset konstanti (näiteks A, B,

    ), mõlemal määratletud astmel, mida peetakse spetsiifiliste omaduste või suhete tähistamiseks.

Järgmine võimalik täiend, mis nõuab mõnevõrra põhjalikumat selgitust, koosneb sümbolitest, mis on loodud funktsioonide jaoks. Funktsiooni mõistet võib praegusel otstarbel piisavalt selgitada järgmiselt. Öeldakse, et n argumendil (või n astmel) on teatud funktsioon, kui on olemas reegel, mis täpsustab kordumatu objekti (mida nimetatakse funktsiooni väärtuseks), kui kõik argumendid täpsustatakse. Näiteks inimeste valdkonnas on “- ema” monaadne funktsioon (ühe argumendi funktsioon), kuna iga inimese jaoks on ainulaadne inimene, kes on tema ema; ja naturaalarvude (st 0, 1, 2,

), “Ja - summa” on kahe argumendi funktsioon, kuna iga naturaalarvude paari jaoks on naturaalarv, mis on nende summa. Funktsiooni sümboliks võib pidada nime moodustamist teistest nimedest (selle argumendid); seega, kui x ja y nimetavad numbreid, nimetab “x ja y summa” ka arvu ning sarnaselt muud tüüpi funktsioonide ja argumentidega.

Funktsioonide väljendamiseks LPC-s võib lisada:

• c.Üks või enam funktsioonimuutujat (nt f, g,

  ) või ühe või mitme funktsiooni konstandi (nt F, G,

  ) või mõlemat, mõlemad määratletud kraadi. Esimesi tõlgendatakse nii, et need ulatuvad määratletud kraadide funktsioonideni ja viimased tähistavad selle kraadi spetsiifilisi funktsioone.

Kui LPC-le lisatakse mõni või kogu punkt c, tuleb alumise predikaatkalkulatsiooni jaotise esimeses lõigus loetletud moodustamise reegleid muuta (vt eespool madalam predikaatkalkulatsioon), et võimaldada uute sümbolite integreerimist wffid. Seda saab teha järgmiselt: mõistet määratletakse kõigepealt kas (1) individuaalse muutujana või (2) individuaalse konstandina või (3) suvalise avaldisena, mis moodustatakse n-astmelise funktsioonimuutuja või funktsioonikonstandi prefiksimisel ükskõik millisele n-terminile (need mõisted - funktsioonisümboli argumendid - eraldatakse tavaliselt komadega ja sulgudes). Formatsioonieeskiri 1 asendatakse järgmisega:

• 1′.Avaldis, mis koosneb predikaatmuutujast või predikaatkonstandist n, millele järgneb n terminit, on wff.

LPC aksiomatiziseerimist käsitlevas jaotises esitatud aksiomaatiline alus (vt eespool LPC aksiomatization) nõuab ka järgmist modifikatsiooni: aksioomiskeemis 2 on mis tahes terminil lubatud asendada a, kui moodustatakse β, eeldusel, et ükski muutuja, mis selles osas pole vaba termin seostub β-ga. Järgmised näited illustreerivad eespool nimetatud LPC täienduste kasutamist: olgu üksikute muutujate väärtused naturaalarvud; las üksikud konstandid a ja b tähistavad vastavalt numbreid 2 ja 3; lase A tähendab “on peamine”; ja las F tähistab dünaamilist funktsiooni “summa”. Siis väljendab AF (a, b) väidet “2 ja 3 summa on algarv” ja (∃x) AF (x, a) väljendab väidet: “On olemas selline arv, et selle ja 2 summa on algelised. ”

Konstantide kehtestamisega kaasneb tavaliselt neid konstante sisaldavate spetsiaalsete aksioomide aksioomaatilise aluse lisamine, mis on kavandatud väljendama põhimõtteid, mis hoiavad neid esindavaid objekte, omadusi, seoseid või funktsioone - ehkki need ei oma objekte, omadusi, suhted või funktsioonid üldiselt. Näiteks võib otsustada kasutada konstandi A abil düadistlikku suhet, mis on suurem kui (nii et Axy tähendab, et x on suurem kui y jne). Erinevalt paljudest teistest on see suhe mööduv; St kui üks objekt on suurem kui sekund ja teine ​​on omakorda suurem kui kolmas, siis on esimene suurem kui kolmas. Seetõttu võiks lisada järgmise spetsiaalse aksioomi skeemi: kui t ₁, t ₂ ja t ₃ on mõisted, siis (At ₁ t ₂ · At ₂ t ₃) ⊃ At ₁ t ₃ on aksioom. Selliste vahenditega saab konstrueerida süsteeme, mis väljendavad erinevate erialade loogilisi struktuure. Enamik sedalaadi töid on tehtud naturaalarvude aritmeetikaga.

PC ja LPC on mõnikord ühendatud üheks süsteemiks. Seda saab kõige lihtsamini teha, lisades LPC primitiivide loendisse pakkumismuutujad, lisades moodustumisreegli, et ainuüksi iseseisvalt paiknev pakkemuutuja on wff, ja kustutades „LPC” aksioomiskeemilt 1. See annab wfa-na sellised avaldised. kui (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx ja (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3.LPC-identiteediga. Sõna “on” ei kasutata alati ühtemoodi. Sellises ettepanekus nagu (1) „Sokratese jaoks on tehtud nina,” nimele „on” eelnev väljend nimetab indiviidi ja sellele järgnev väljend tähistab sellele indiviidile omistatud omadust. Kuid sellises ettepanekus nagu (2) „Sokrates on atenoidi filosoof, kes jõi päkapikku”, on „ja” -le eelnevad ja järgnenud väljendid mõlemad isendid ja kogu väite mõte on, et esimese poolt nimetatud indiviid on sama isiksus kui teise poolt nimetatud indiviid. Seega võib kahes osas "is" laieneda "on sama isik kui", samas kui ühes ei saa. Punktis 2 kasutatud tähenduses tähistab „on” dünaamilist suhet - nimelt identiteeti -, mida väide väidab hoidvat kahe inimese vahel. Identiteedi pakkumist tuleb selles kontekstis mõista nii, et see väidab ainult seda; eriti ei saa seda pidada väiteks, et kahel nimetaval väljendil on sama tähendus. Selle viimase punkti illustreerimiseks on palju arutatud näide: “Hommikutäht on õhtutäht.” On vale, et väljendid "hommikutäht" ja "õhtutäht" tähendavad sama, kuid on tõsi, et endise viidatud objekt on sama, millele viitas viimane (planeet Veenus).

Identiteedivariatsioonide vormide väljendamise võimaldamiseks lisatakse LPC-sse düadikaalne predikaatkonstant, mille jaoks kõige tavalisem märge on = (kirjutatud argumentide vahele, mitte aga varem). X = y kavandatud tõlgendus seisneb selles, et x on sama isik kui y ja kõige mugavam on lugeda, et x on identne y-ga. Selle eitust ∼ (x = y) lühendatakse tavaliselt kui x ≠ y. Varem antud LPC mudeli määratlusele (vt ülalpool kehtivust LPC-s) on nüüd lisatud reegel (mis vastab ilmselgelt kavandatud tõlgendusele), et x = y väärtus peab olema 1, kui sama liige D omistatakse nii xile kui ka y-le ja vastasel juhul peab selle väärtus olema 0; kehtivuse saab seejärel määratleda nagu varem. LPC aksomaatilisele alusele tehakse järgmised (või mõned samaväärsed) täiendused: aksioom x = x ja aksioomiskeem, kus a ja b on üksikud muutujad ning α ja β on wffid, mis erinevad ainult selle poolest, et ühes või enamas kohas, kus α on vaba esinemine a, β on vaba esinemisega b, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) on aksioom. Sellist süsteemi tuntakse kui madalamat predikaati-kalkulatsiooni identiteediga; muidugi võib seda veelgi laiendada muudel viisidel, millele on viidatud eespool osas "LPC laiendamine", sel juhul võib mis tahes termin olla =.

Identiteet on ekvivalentsussuhe; st see on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne. Selle refleksiivsust väljendatakse otseselt aksioomis x = x ning selle sümmeetriat ja transitiivsust väljendavaid teoreeme saab antud alusest hõlpsasti tuletada.

Teatud identiteediga LPC-ga wifid väljendavad ettepanekuid asjade arvu kohta, millel on antud omadus. “Vähemalt üks asi on ϕ” võib muidugi juba väljendada (∃x) ϕx; “Vähemalt kaks eraldiseisvat (mitteidentiteetset) asja on ϕ” saab nüüd väljendada (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); jada saab ilmselgelt jätkata. “Maksimaalselt on üks asi ϕ” (st. “Kaks erinevat asja pole mõlemad ϕ”) saab väljendada viimati nimetatud wff eituse või selle ekvivalendi abil (∀x) (∀y) [(ϕx · ϕy) ⊃ x = y] ja jada saab jälle hõlpsalt jätkata. Valemi „Täpselt üks asi on ϕ” saamiseks võib ühendada valemitega „vähemalt üks asi on ϕ” ja „maksimaalselt üks asi on ϕ”, kuid sellele konjunktsioonile samaväärne lihtsam wff on (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], mis tähendab „on midagi, mis on ϕ, ja kõik, mis on ϕ, on see asi”. Pakkumist “Täpselt kaks asja on ϕ” võib tähistada (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; st: "Seal on kaks ebaolulist asja, millest igaüks on ϕ, ja kõik, mis on ϕ, on üks neist või teine ​​neist." On selge, et seda järjestust saab ka laiendada, et saada valem „Täpselt n asja on ϕ” iga naturaalarvu n jaoks. Wff-i on mugav lühendada sõnadega „Täpselt üks asi on ϕ” (∃! X) x. Seda spetsiaalset kvantifikaatorit loetakse sageli valjusti kui „E-Shriek x”.

Kindlad kirjeldused

Kui teatud omadus ϕ kuulub ühele ja ainult ühele objektile, on mugav kasutada avaldist, mis seda objekti nimetaks. Selle jaoks tavaline märge on (ιx) ϕx, mida võib tõlgendada kui “asja, mis on ϕ” või lühemalt kui “the”. Üldiselt, kui a on mis tahes individuaalne muutuja ja α on ükskõik milline wff, (ιa) α tähistab siis a üksikväärtust, mis muudab α tõeseks. Vormi "nii-ja-nii" väljendit nimetatakse kindlaks kirjelduseks; ja (ιx), mida nimetatakse kirjeldusoperaatoriks, võib arvata moodustavat pakkumisvormist üksikisiku nime. (ιx) on analoogne kvantifikaatoriga selles osas, et kui sellele on ette nähtud wff α, seob see iga x vaba esinemise α-s. Seotud muutujate uuesti sisestamine on samuti lubatud; kõige lihtsamal juhul võib (ιx) ϕx ja (ιy) ϕy lugeda mõlemat lihtsalt täheks.

Asutamisreeglite osas saab kindlad kirjeldused lisada LPC-sse, lubades vormi (ιa) α avaldisi pidada terminiteks; ülaltoodud reegel jaotises „LPC laiendused” lubab neil esineda aatomi valemites (sealhulgas identsusvalemis). „Φ on (st omab omadust) ψ” saab seejärel väljendada kui ψ (ιx) ϕx; „Y on (sama isiksus kui) a ϕ” kui y = (ιx) ϕx; „Φ on (sama isik, kes) ψ” kui (ιx) ϕx = (ιy) ψy; ja nii edasi.

Kindlaid kirjeldusi sisaldavate väidete õiget analüüsi on käsitletud märkimisväärses filosoofilises poleemikas. Üks laialt aktsepteeritud järeldus - põhimõtteliselt see, mida tutvustatakse Principia Mathematica ja mida tuntakse Russelli kirjelduse teooriana - leiab, et “ϕ on” tuleb mõista nii, et täpselt üks asi on ϕ ja see asi on ka ψ. Sel juhul saab seda väljendada identiteediga LPC-ga wff, mis ei sisalda kirjeldavaid operaatoreid, nimelt (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Analoogselt analüüsitakse „y on ϕ” kui „y on ϕ ja mitte miski muu pole ϕ” ja seega väljendatav (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). “Φ on ψ” analüüsitakse kui “Täpselt üks asi on ϕ, täpselt üks asi on ψ ja mis iganes on ϕ on ψ” ja on seega väljendatav tähega (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx ja (ιx) xx ((ιy) ψy) võib seejärel lugeda vastavalt lühendite (1), (2) ja (3) jaoks; ja üldistades keerukamatele juhtumitele, võib kõiki kirjeldavaid operaatoreid sisaldavaid wff-sid pidada lühemateks WWF-deks, mis seda ei tee.

Analüüs, mille tulemuseks on (1) valemi „The ϕ on ψ“ korral, toob valemi „The ϕ not ψ“ jaoks järgmise tulemuse: (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. Oluline on märkida, et (4) ei ole punkti 1 eitamine; see eitus on selle asemel (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. (4) ja (5) tähenduse erinevus seisneb selles, et (4) on tõene ainult siis, kui on täpselt üks asi, mis on ϕ ja see asi pole ψ, kuid (5) on tõsi nii sel juhul kui ka ka siis, kui miski pole ϕ ja kui rohkem kui üks asi on ϕ. Punktide (4) ja (5) vahel vahet tegemata jätmine võib põhjustada tõsiseid segadusi; tavakõnes on sageli ebaselge, kas keegi, kes eitab, et the on ψ, möönab, et täpselt üks asi on ϕ, kuid eitab, et see on or, või eitab, et täpselt üks asi on ϕ.

Russelli kirjeldusteooria peamine väide on see, et kindlat kirjeldust sisaldavat väidet ei tule käsitleda väitena objekti kohta, mille nimi see kirjeldus on, vaid pigem eksistentsiaalselt kvantitatiivse väitena, et teatud (üsna keeruline) omadus omab näiteks. Formaalselt kajastub see ülalkirjeldatud kirjeldusoperaatorite eemaldamise eeskirjades.