Analüüsi ajalugu
Kreeklased puutuvad pidevalt kokku
Analüüs koosneb nendest matemaatika osadest, milles on oluline pidev muutus. Need hõlmavad sujuvate kõverate ja pindade liikumise uurimist ning geomeetriat - eriti puutujate, pindalade ja ruumalade arvutamist. Vana-Kreeka matemaatikud on teinud suuri edusamme nii analüüsi teoorias kui ka praktikas. Teooria sundis neid Pythagorase irratsionaalse suuruse avastamisega umbes 500 bce ja Zeno liikumisparadokside abil umbes 450 bce.
Pütagoralased ja irratsionaalsed numbrid
Algselt uskusid pythagoorlased, et kõike saab mõõta diskreetse loodusliku arvu abil (1, 2, 3,
) ja nende suhtarvud (tavalised murdarvud või ratsionaalarvud). Seda usku raputas aga avastus, et ühiku ruudu (st ruudu, mille külje pikkus on 1) diagonaali ei saa väljendada ratsionaalarvuna. Selle avastuse tingis nende endi Pythagorase teoreem, mis näitas, et täisnurkse kolmnurga hüpoteenuses olev ruut võrdub kahe teise külje ruutude summaga - tänapäevases märkuses, c 2 = a 2 + b 2. Ühikruudus on diagonaal täisnurkse kolmnurga hüpotenuus, mille küljed a = b = 1; seega on selle mõõt ruutjuur 2-st - irratsionaalne arv. Pitagoorid olid nende endi kavatsuste taustal näidanud, et ratsionaalsetest arvudest ei piisa isegi lihtsate geomeetriliste objektide mõõtmiseks. (Vt külgriba: mittekommenteeritavad.) Nende reaktsiooniks oli joonte segmentide aritmeetika loomine, nagu on leitud Eukleidi elementide II raamatus (umbes 300 bce), mis sisaldas ratsionaalsete arvude geomeetrilist tõlgendust. Kreeklaste jaoks olid joonelõigud üldisemad kui arvud, kuna need sisaldasid nii pidevat kui ka diskreetset suurusjärku.
Tõepoolest,√2 ruutjuure saab ratsionaalsete arvudega seostada ainult lõpmatu protsessi kaudu. Seda mõistis Euclid, kes uuris nii ratsionaalarvude kui ka sirgjoonte aritmeetikat. Tema kuulus eukleidiline algoritm, kui seda rakendatakse looduslike arvude paari suhtes, viib piiratud arvu sammudega nende suurima ühise jagajani. Kuid kui seda rakendatakse irratsionaalse suhtega reale, näiteks ruudu juurele √2 ja 1, siis see ei lõpe. Euclid kasutas seda mitteterminatsiooni omadust isegi irratsionaalsuse kriteeriumina. Niisiis vaidlustas irratsionaalsus Kreeka numbrimõiste, sundides neid tegelema lõpmatute protsessidega.
Zeno paradoksid ja liikumise kontseptsioon
Nii nagu√2 ruutjuur oli väljakutse kreeklaste arvu kontseptsioonile, olid Zeno paradoksid nende liikumiskontseptsiooni väljakutseks. Aristoteles tsiteeris oma füüsikas (umbes 350 bce) Zenot:
Liikumist ei toimu, sest see, mis liigutatakse, peab jõudma kursuse keskele enne selle lõppu.
Zeno argumente tuntakse ainult Aristotelese kaudu, kes tsiteeris neid peamiselt nende ümberlükkamiseks. Eeldatavasti tähendas Zeno, et kuhugi jõudmiseks tuleb esmalt minna poolele teele ja enne seda neljandik teest ning enne seda kaheksandik teest ja nii edasi. Kuna see vahemaade poole võrra vähendamise protsess läheks lõpmatusse (kontseptsiooni, mida kreeklased ei aktsepteeriks kui võimalik), väitis Zeno, et “tõestab”, et reaalsus koosneb muutumatust olemisest. Vaatamata lõpmatuse järelehüümisele leidsid kreeklased, et see mõiste on pideva suurusega matemaatikas hädavajalik. Nii põhjendasid nad lõpmatust võimalikult lõplikult loogilises raamistikus, mida nimetatakse proportsioonide teooriaks ja kasutades ammendumismeetodit.
Proportsioonide teooria lõi Eudoxus umbes 350 bce ja säilitas Eukleidi elementide V raamatus. See kehtestas täpse seose ratsionaalsete ja suvaliste suuruste vahel, määratledes kaks magnituuti võrdsed, kui nendest väiksemad ratsionaalsed magnituudid oleksid samad. Teisisõnu, kaks suurusjärku olid erinevad ainult siis, kui nende vahel oli ratsionaalne suurusjärk. See määratlus teenis matemaatikuid kaks aastatuhandet ja sillutas teed analüüsi aritmeerimisele 19. sajandil, kus suvalised arvud olid ratsionaalsete arvude abil rangelt määratletud. Proportsioonide teooria oli esimene piiride mõiste range käsitlus - idee, mis on moodsa analüüsi keskmes. Kaasaegses sõnastuses määratles Eudoxuse teooria suvalise suuruse ratsionaalse suuruse piiridena ning põhiteoreemid summa, erinevuse ja suurusjärgu korrutise kohta olid samaväärsed piiride summa, erinevuse ja korrutise teoreemidega.
