Sturm-Liouville'i probleemmatemaatika

Sturm-Liouville'i probleem ehk omaväärtuse probleem matemaatikas - teatud osade diferentsiaalvõrrandite klass (PDE-d), millele rakendatakse lahendustele lisapiiranguid, mida nimetatakse piirväärtusteks. Sellised võrrandid on tavalised nii klassikalises füüsikas (nt soojusjuhtivus) kui ka kvantmehaanikas (nt Schrödingeri võrrand) protsesside kirjeldamiseks, kus mõnda välist väärtust (piirväärtust) hoitakse konstantsena, samas kui huvipakkuv süsteem edastab mingisuguse energia.

1830. aastate keskel töötasid prantsuse matemaatikud Charles-François Sturm ja Joseph Liouville iseseisvalt läbi metallvarda soojusjuhtivuse probleemi, töötades välja meetodeid suure hulga PDEde lahendamiseks, millest kõige lihtsamad on järgmised: [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0, kus y on mingi füüsikaline suurus (või kvantmehaanilise laine funktsioon) ja λ on parameeter või omaväärtus, mis võrrandit piirab nii et y vastab piirväärtustele selle intervalli lõpp-punktides, mille jooksul muutuja x ulatub. Kui funktsioonid p, q ja r vastavad sobivatele tingimustele, on võrrandil lahendusväärtuste perekond, mida nimetatakse omafunktsioonideks ja mis vastavad omaväärtuse lahendustele.

Keerukama mittehomogeense juhtumi korral, kus ülaltoodud võrrandi parem külg on funktsioon, f (x), mitte null, saab vastava homogeense võrrandi omaväärtusi võrrelda algse võrrandi omaväärtustega. Kui need väärtused on erinevad, on probleemil ainulaadne lahendus. Teisest küljest, kui üks neist omaväärtustest ühtib, pole probleemil kas lahendust või tervet lahenduste rühma, sõltuvalt funktsiooni f (x) omadustest.