Kurt Gödel, Gödel kirjutas ka Goedeli, (sündinud 28. aprillil 1906 Brünnis, Austria-Ungari [nüüd Brno, Tšehhi Vabariik] - suriJan. 14, 1978, Princeton, NJ, USA), Austrias sündinud matemaatik, loogik ja filosoof, kes hankis 20. sajandi kõige olulisema matemaatilise tulemuse: tema kuulus mittetäielikkuse teoreem, mis väidab, et mis tahes aksioomaatilise matemaatilise süsteemi sees on väiteid, mida ei saa selle süsteemi aksioomide põhjal tõestada ega ümber lükata; seega ei saa selline süsteem olla samaaegselt täielik ja järjepidev. See tõestas, et Gödel on Aristotelese järgselt üks suurimaid loogikuid ning selle tagajärgi tuntakse ja arutatakse jätkuvalt ka tänapäeval.
matemaatika alused: Gödel
Hilberti programmis oli kaudselt olnud lootust, et süntaktiline tõestatavuse mõiste haarab tõe semantilist mõistet. Gödel
Varane elu ja karjäär
Gödel kannatas lapsena mitmel perioodil halva tervisega pärast 6-aastase löögi algust reumaatilise palavikuga, mis kartis tal esineda südameprobleeme. Tema eluaegne mure tervisega võis kaasa aidata tema võimalikule paranoiale, mis hõlmas söögiriistade obsessiivselt puhastamist ja muret oma toidu puhtuse pärast.
Saksa keelt kõneleva austerlasena leidis Gödel end äsja asutatud Tšehhoslovakkia riigis, kui I maailmasõja lõpus 1918. aastal lagunes Austraalia-Ungari impeerium. Kuus aastat hiljem läks ta siiski õppima Austriasse, Viini ülikoolis, kus ta omandas matemaatika doktorikraadi 1929. aastal. Ta liitus järgmisel aastal Viini ülikooli teaduskonnaga.
Sel perioodil oli Viin üks intellektuaalseid sõlmpunkte maailmas. Seal asus kuulus Viini ring, rühm teadlasi, matemaatikuid ja filosoofe, kes toetasid naturalistlikku, tugevalt empiirilist ja antimetafüüsilist vaadet, mida tuntakse loogilise positivismina. Gödeli väitekirja nõustaja Hans Hahn oli Viini ringi üks juhte ja ta tutvustas rühmale oma staarõpilast. Gödeli enda filosoofilised vaated ei saanud aga positivistide omadest enam erineda. Ta toetas platonismi, teismi ja meele-keha dualismi. Lisaks oli ta ka mõnevõrra vaimselt ebastabiilne ja allus paranoiale - probleemile, mis vananedes aina süvenes. Nii jättis tema kontakt Viini ringi liikmetega tunde, et 20. sajand oli tema ideedele vaenulik.
Gödeli teoreemid
Gödel tõestas 1930. aastal pisut lühendatud kujul ilmunud doktoritöös “Über die Vollständigkeit des Logikkalküls” (“Loogika arvutuse täielikkusest”), mis on sajandi üks olulisemaid loogilisi tulemusi - tõsi küll, kogu aeg - nimelt täielikkuse teoreem, mis kinnitas, et klassikaline esimese astme loogika ehk predikaatarvutus on täielik selles mõttes, et kõiki esimese astme loogilisi tõdesid saab tõestada standardses esimese astme tõestussüsteemides.
See polnud aga midagi võrreldes sellega, mille Gödel 1931. aastal avaldas, nimelt mittetäielikkuse teoreemiga: “Über formaalne unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme” (“Principia Mathematica ja sellega seotud süsteemide ametlikult määratlemata ettepanekutest”). Ligikaudu öeldes tegi see teoreem tulemuseks, et matemaatilise teooria konstrueerimiseks pole matemaatika harudes võimatu kasutada aksiomaatilist meetodit, mis hõlmab kõiki selle matemaatika haru tõdesid. (Inglismaal veetsid Alfred North Whitehead ja Bertrand Russell aastaid sellise programmi jaoks, mille nad avaldasid Principia Mathematica kolmes köites aastatel 1910, 1912 ja 1913.) Näiteks on võimatu välja töötada aksiomaatilist matemaatilist teooriat. mis hõlmab isegi kõiki tõde looduslike arvude (0, 1, 2, 3,
). See oli äärmiselt oluline negatiivne tulemus, kuna enne 1931. aastat üritasid paljud matemaatikud just seda teha - konstrueerida aksioomisüsteeme, mida saaks kasutada kõigi matemaatiliste tõdede tõestamiseks. Tõepoolest, mitmed tuntud loogikud ja matemaatikud (nt Whitehead, Russell, Gottlob Frege, David Hilbert) kulutasid selle projekti jaoks märkimisväärse osa oma karjäärist. Gödeli teoreem hävitas nende jaoks kogu selle aksiomaatilise uurimisprogrammi.
Rahvusvaheline kuulsus ja kolige Ameerika Ühendriikidesse
Pärast puudulikkuse teoreemi avaldamist sai Gödelist rahvusvaheliselt tuntud intellektuaal. Ta reisis mitu korda USA-sse ja pidas loenguid New Jersey Princetoni ülikoolis, kus ta kohtus Albert Einsteiniga. See oli tiheda sõpruse algus, mis kestis kuni Einsteini surmani 1955. aastal.
Kuid ka sel perioodil hakkas Gödeli vaimne tervis halvenema. Ta kannatas depressioonihoogude all ja pärast Viini ringi ühe juhi Moritz Schlicki mõrva mahajäänud õpilase poolt, tabas Gödel närvivapustust. Järgnevatel aastatel kannatas ta veel mitu.
Pärast seda, kui natsi-Saksamaa annekteeris Austria 12. märtsil 1938, sattus Gödel üsna ebamugavasse olukorda osalt seetõttu, et tal oli pikka aega olnud tihedaid sidemeid Viini ringi erinevate juudi liikmetega (tõepoolest, teda rünnati Viini tänavatel) noorte poolt, kes arvasid, et ta on juut) ja osaliselt seetõttu, et teda ähvardas oht sattuda Saksa armeesse. 20. septembril 1938 abiellus Gödel Adele Nimburskyga (s. Porkert) ja kui II maailmasõda puhkes aasta hiljem, põgenes ta koos oma naisega Euroopast, viies üle Aasia Siberi raudtee, sõites üle Vaikse ookeani, ja seejärel teise rongiga üle Ameerika Ühendriikide Princetoni osariiki New Yorki osariigis, kus Einsteini abiga asus tööle vastloodud moodsate uuringute instituuti (IAS). Ülejäänud elu veetis ta töötades ja õpetades IAS-is, kust ta läks pensionile 1976. aastal. Gödel sai 1948. aastal USA kodanikuks. (Einstein osales kohtuistungil, kuna Gödeli käitumine oli üsna ettearvamatu ning Einstein kartis, et Gödel võib oma saboteerida. oma juhtum.)
1940. aastal, alles mitu kuud pärast Princetoni saabumist, avaldas Gödel veel ühe klassikalise matemaatilise raamatu „Valiku aksioomi ja üldistatud pideva hüpoteesi kooskõla komplekti teooria aksioomidega”, mis tõestas, et valitud aksioom ja pidevus hüpotees on kooskõlas seatud teooria standardsete aksioomidega (näiteks Zermelo-Fraenkeli aksioomidega). See tõestas pool Gödeli oletust - nimelt seda, et pidevushüpoteesi ei olnud standardsetes teooriates võimalik tõesteks või väärateks tõestada. Gödeli tõend näitas, et seda ei saa nendes teooriates valeks tõestada. Aastal 1963 näitas ameerika matemaatik Paul Cohen, et ka Gödeli oletust kinnitades ei saa seda tõesuses tõestada.
Aastal 1949 andis Gödel olulise panuse ka füüsikasse, näidates, et Einsteini üldrelatiivsusteooria võimaldab ajaliselt liikuda.
