Gammafunktsioon, faktoriaalfunktsiooni üldistamine mitteintegraalsetele väärtustele, tutvustas Šveitsi matemaatik Leonhard Euler 18. sajandil.
Positiivse täisarvu n korral on faktoriaal (kirjutatud kui n!) Defineeritud arvuga n! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × (n - 1) × n. Näiteks 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. Kuid see valem on mõttetu, kui n ei ole täisarv.
Faktoriaalse laiendamiseks mis tahes reaalarvuni x> 0 (olenemata sellest, kas x on täisarv või mitte) määratletakse gammafunktsioon järgmiselt: (x) = integreeritud intervalliga [0, ∞] of0∞t x −1 e - ei dt.
Integreerimismeetodeid kasutades saab näidata, et Γ (1) = 1. Samamoodi saab arvutusmeetodi abil, mida tuntakse osade kaupa integratsioonina, tõestada, et gamma-funktsioonil on järgmine rekursiivne omadus: kui x> 0, siis Γ (x + 1) = xΓ (x). Sellest järeldub, et Γ (2) = 1 Γ (1) = 1; Γ (3) = 2 Γ (2) = 2 × 1 = 2 !; Γ (4) = 3 Γ (3) = 3 × 2 × 1 = 3 !; ja nii edasi. Kui x on naturaalarv (1, 2, 3,
), siis Γ (x) = (x - 1)! Funktsiooni saab laiendada negatiivsete mitte täisarvude reaalarvudele ja keerulistele arvudele, kui tegelik osa on suurem kui või võrdne 1. Kuigi gammafunktsioon käitub looduslike arvude (diskreetne komplekt) korral faktoriaalina, võib selle laiendamine väärtuseni positiivsed reaalarvud (pidev kogum) muudavad selle kasulikuks pidevate muutustega seotud olukordade modelleerimisel koos oluliste rakendustega arvutamiseks, diferentsiaalvõrranditeks, keerukaks analüüsiks ja statistikaks.
