Kategooria teooria
Abstraktsioon matemaatikas
Üks hiljutisi suundumusi matemaatika arengus on olnud järkjärguline abstraktsiooniprotsess. Norra matemaatik Niels Henrik Abel (1802–29) tõestas, et viienda astme võrrandeid ei suuda radikaalid üldiselt lahendada. Prantsuse matemaatik Évariste Galois (1811–32), ajendatuna osaliselt Abeli tööst, tutvustas teatud permutatsioonide rühmi, et määrata kindlaks polünomiaalse võrrandi lahendamiseks vajalikud tingimused. Need konkreetsed rühmad tekitasid peagi abstraktsed rühmad, mida kirjeldati aksiomaatiliselt. Siis mõisteti, et rühmade uurimiseks on vaja uurida erinevate rühmade suhteid - eriti homomorfisme, mis kaardistavad ühe rühma teise, säilitades samal ajal rühma toimingud. Nii hakkasid inimesed uurima, mida nüüd nimetatakse konkreetseks rühmade kategooriaks, mille objektid on rühmad ja mille nooled on homomorfismid. Ei läinud kaua, kui konkreetsed kategooriad asendati abstraktsete kategooriatega, mida kirjeldati jälle aksiomaatiliselt.
Kategooria olulise idee tutvustasid II maailmasõja lõpus Samuel Eilenberg ja Saunders Mac Lane. Neid tänapäevaseid kategooriaid tuleb eristada Aristotelese kategooriatest, mida praeguses kontekstis nimetatakse tüüpideks paremini. Kategoorias pole mitte ainult objekte, vaid ka nende vahel nooli (neid nimetatakse ka morfismideks, teisendusteks või kaardistamiseks).
Paljud kategooriad on objektikomplektidena varustatud mõne struktuuriga ja nooltega, mis seda struktuuri säilitavad. Seega eksisteerivad kategooriate komplektid (tühja struktuuriga) ja vasted, rühmad ja grupihomorfismid, rõngad ja rõngahomomorfismid, vektorruumid ja lineaarsed teisendused, topoloogilised ruumid ja pidevad kaardistused jne. Isegi abstraktsemal tasemel eksisteerib isegi (väikeste) kategooriate ja funktorite kategooria, nagu nimetatakse kategooriatevahelisi morfisme, mis säilitavad seoseid objektide ja noolte vahel.
Kõiki kategooriaid ei saa sel konkreetsel viisil vaadata. Näiteks võib deduktiivse süsteemi valemeid vaadelda kategooria objektidena, mille nooled f: A → B on B-st tuletatud järeldused A-st. Tegelikult on see vaade oluline teoreetilises arvutiteaduses, kus valemite väljamõtlemiseks tüüpidena ja deduktsiad operatsioonidena.
Ametlikumalt koosneb kategooria 1) objektide kogumist A, B, C,…, (2) iga kollektsiooni tellitud objektipaari kohta sellega seotud muunduste kollektsioon, sealhulgas identiteet I A ∶ A → A, ja (3) seotud kompositsiooniseadus iga kategoorias asuva järjestatud kolmekordse objekti puhul nii, et f ∶ A → B ja g ∶ B → C, kompositsioon gf (või g ○ f) on teisendus punktist A punkti C, st gf ∶ A → C. Lisaks on nõutav assotsiatiivse seaduse ja identiteetide hoidmine (kus kompositsioonides on määratletud) -st h (gf) = (hg) f ja 1 B f = f = f1.
Teatud mõttes pole abstraktse kategooria objektidel aknaid, nagu Leibnizi kloostritel. Objekti sisemuse järeldamiseks tuleb vaadata ainult kõiki teisi objekte suunavaid nooli A-sse. Näiteks komplektide kategoorias võivad komplekti A elemendid olla tähistatud nooltega tüüpilisest üheelemendilisest A-st.. Samamoodi kategooria väikeste kategooriad, kui 1 on kategooria ühe objekti ja ei mitteidentsus nooled, objektide kategooriasse võib samastada functors 1 →. Pealegi, kui 2 on kategooria kahe objektid ja üks mitteidentsus nool, nooled võib samastada functors 2 →.
Isomorfsed struktuurid
Nool f: A → B nimetatakse isomorfismiks kui on noolega g: B → pöördvõrdeline f-st, nii et g ○ f = 1 ja f ○ g = 1 B. See kirjutatakse A ≅ B ning A ja B nimetatakse isomorfseteks, mis tähendab, et neil on põhimõtteliselt sama struktuur ja et neid pole vaja eristada. Kuivõrd matemaatilised üksused on kategooriate objektid, antakse neile ainult isomorfism. Lisaks traditsioonilistele teoreetilistele komplektilistele konstruktsioonidele, mis on kasulik ka järjepidevuse näitamiseks, pole tegelikult tähtsust.
Näiteks defineeritakse täisarvringi tavapärases konstrueerimisel täisarv kui naturaalarvude paaride (m, n) ekvivalentsusklass, kus (m, n) on samaväärne (m ′, n ′), kui ja ainult siis, kui m + n ′ = m ′ + n. Idee on, et (m, n) ekvivalentsusklassi tuleks vaadelda kui m - n. Kategooria jaoks on oluline aga see, et täisarvude ring ℤ on rõngaste ja homomorfismide kategooria algobjekt - see tähendab, et iga rõnga ℝ jaoks on ainulaadne homomorfism ℤ → ℝ. Selliselt vaadatuna antakse ℤ ainult isomorfismile. Samas vaimus ei tohiks öelda, et ℤ sisaldub ratsionaalsete arvude väljal but, vaid ainult et homomorfism ℤ → ℚ on üks-ühele. Samuti ei ole mõtet rääkida π ja ruutjuure π-1 ristteoreetilisest ristumiskohast, kui mõlemad on väljendatud komplektide komplektide komplektidena (ad infinitum).
Erilist huvi pakuvad sihtasutused ja mujal asuvad külgnevad funktorid (F, G). Need on kahe kategooria ? ja ℬ vahel olevad funktoripaarid, mis lähevad vastupidises suunas selliselt, et ℬ-s asuvate noolte F (A) → B ja noolte A → G (B) vahel on üks kuni üks vastavus.) ? - see tähendab, et komplektid on isomorfsed.
