Diophantus, perekonnanimega Diophantus Alexandria, (õitses umbes ce. 250), Kreeka matemaatik, kuulus oma algebras tehtud töö eest.
arvuteooria: Diophantus
Hilisematest Kreeka matemaatikutest on eriti tähelepanuväärne Diophantus Alexandriast (õitses umbes 250), autor
See, mida Diophantuse elust vähe teada on, on kaudne. Apellatsioonist “Aleksandria” näib, et ta töötas Vana-Kreeka maailma peamises teaduskeskuses; ja kuna teda pole enne 4. sajandit mainitud, tundub tõenäoline, et ta õitses 3. sajandil. Hilise antiikaja Anthologia Graeca aritmeetiline epigramm, mille eesmärk oli meenutada mõnda tema elu olulist suundumust (abielu 33-aastaselt, poja sündi 38-aastaselt, poja surm neli aastat enne tema enda sündi 84-aastaselt), võib hästi välja mõelda. Tema nime all on meie juurde tulnud kaks teost, mõlemad puudulikud. Esimene neist on väike fragment hulknurksete numbrite kohta (arv on hulknurkne, kui sama arvu punkte saab paigutada tavalise hulknurga kujul). Teine, suur ja äärmiselt mõjukas traktaat, millele kogu Diophantuse iidne ja kaasaegne kuulsus omab, on tema aritmeetika. Selle ajalooline tähtsus on kahetine: see on esimene teadaolev teos, kus kasutatakse algebrat modernses stiilis ja see inspireeris numbriteooria taassündi.
Aritmeetika algab sissejuhatusega, mis on suunatud Dionysiusele - väidetavalt Aleksandria Pühale Dionysiusele. Pärast mõningaid üldisi numbreid selgitab Diophantus oma sümboolikat - ta kasutab tundmatute (vastavalt meie x-le) ja nende positiivsete või negatiivsete võimete sümboleid, samuti mõne aritmeetilise toimingu jaoks -, enamik neist sümbolitest on selgelt kirjanduslikud lühendid. See on esimene ja ainus algebralise sümboolika esinemine enne 15. sajandit. Pärast tundmatu jõudude korrutamise õpetamist selgitab Diophantus positiivsete ja negatiivsete tingimuste korrutamist ning seda, kuidas taandada võrrand ainult positiivsete tingimustega (antiikajal eelistatav standardvorm). Kuna need ettevalmistused ei ole kättesaadavad, astub Diophantus probleemide lahendamise juurde. Tegelikult on aritmeetika sisuliselt lahenduste probleemide kogum, umbes 260 selles osas on endiselt alles.
Sissejuhatuses öeldakse ka, et töö on jagatud 13 raamatuks. Kuus neist raamatutest tunti Euroopas 15. sajandi lõpul, Bütsantsi teadlased edastasid need kreeka keeles ja nummerdasid I kuni VI; neli teist raamatut avastati 1968. aastal 9. sajandi araabiakeelses tõlkes, mille autor on Qusṭā ibn Lūqā. Araabiakeelses tekstis puudub aga matemaatiline sümboolika ja näib, et see põhineb hilisemal kreeka kommentaaril - võib-olla ka Hypatia kommenteerimisel (umbes 370–415) -, mis lahjendas Diophantuse ekspositsiooni. Nüüd teame, et kreeka raamatute numeratsiooni tuleb muuta: Arithmetica koosneb seega I – III raamatust kreeka keeles, IV – VII raamatust araabia keeles ja eeldatavasti VIII – X raamatust kreeka keeles (endistest Kreeka raamatutest IV – VI)). Edasine nummerdamine on ebatõenäoline; on üsna kindel, et bütsantslased teadsid ainult kuut nende edastatud raamatut ja araablased mitte rohkem kui I-VII raamat kommenteeritud versioonis.
I raamatu probleemid pole iseloomulikud, tegemist on enamasti lihtsate probleemidega, mida kasutatakse algebralise arvestamise illustreerimiseks. Diophantuse probleemide eristavad jooned ilmnevad hilisemates raamatutes: need on määramatud (millel on rohkem kui üks lahendus), on teise astme või teisendatavad teise astmeni (muutuvatel tingimustel on suurim jõud 2, st x 2), ja lõpeb tundmatule positiivse ratsionaalse väärtuse määramisega, mis muudab antud algebralise avalduse numbrilise ruudu või mõnikord kuubi. (Diophantus kasutab kogu oma raamatus „arvu”, viidates sellele, mida nüüd nimetatakse positiivseteks ratsionaalseteks numbriteks; seega on ruutarv mõne positiivse, ratsionaalse arvu ruut.) II ja III raamat õpetavad ka üldisi meetodeid. II raamatu kolmes ülesandes selgitatakse, kuidas esitada: (1) mis tahes antud ruutarv kahe ratsionaalse arvu ruutude summana; (2) iga antud ruudukujuline arv, mis on kahe teada oleva ruudu summa kahe teise ruudu summana; ja (3) iga ratsionaalne arv kahe ruudu erinevusena. Kui esimest ja kolmandat probleemi öeldakse üldiselt, siis teise probleemi ühe lahenduse oletatavad teadmised viitavad sellele, et mitte iga ratsionaalne arv ei ole kahe ruudu summa. Diophantus annab hiljem tingimuse täisarvuks: antud arv ei tohi sisaldada ühtegi algfaktorit kujul 4n + 3, mis on tõstetud paaritu võimsuseni, kus n on mittenegatiivne täisarv. Sellised näited ajendasid numbriteooria taassündi. Ehkki Diophantus on tavaliselt probleemile ühe lahenduse leidmisega rahul, mainib ta probleemides aeg-ajalt, et on olemas lõpmatu arv lahendusi.
IV – VII raamatus laiendab Diophantus eespool kirjeldatud põhimeetodeid kõrgema astme probleemidele, mida saab taandada esimese või teise astme binoomvõrrandiks. Nende raamatute eessõnad väidavad, et nende eesmärk on pakkuda lugejale kogemusi ja oskusi. Kuigi see hiljutine avastus ei suurenda teadmisi Diophantuse matemaatikast, muudab see siiski tema pedagoogiliste võimete hinnangut. VIII ja IX raamat (eeldatavasti kreeka raamatud IV ja V) lahendavad keerulisemaid probleeme, isegi kui põhimeetodid jäävad samaks. Näiteks seisneb üks probleem antud täisarvu lagundamises kahe teineteisega suvaliselt lähestikku asuva ruudu summaks. Sarnane probleem hõlmab antud täisarvu lagundamist kolme ruudu summaks; selles jätab Diophantus võimatuks arvu täisarvudega kujul 8n + 7 (jällegi on n mittenegatiivne täisarv). X raamat (eeldatavasti kreeka VI raamat) käsitleb täisnurkseid kolmnurki, millel on ratsionaalsed küljed ja millele kehtivad mitmesugused muud tingimused.
Arithmetica kolme puuduva raamatu sisu võib kokku võtta sissejuhatusest, kus pärast seda, kui öeldakse, et probleemi vähendamine peaks “võimaluse korral” jõudma binomiaalse võrrandini, lisab Diophantus, et ta käsitleb juhtumit “hiljem”. trinomaalvõrrandist - lubadus, mis jääb praeguses osas täitmata.
Ehkki tema käsutuses oli vähe algebralisi tööriistu, suutis Diophantus lahendada mitmesuguseid probleeme ja Arithmetica innustas oma meetodeid rakendama araabia matemaatikuid, näiteks al-Karajī (umbes 980–1030). Diophantuse loomingu kuulsaim laiend oli tänapäevase numbriteooria rajaja Pierre de Fermat (1601–65). Oma Arithmetica eksemplari ääres kirjutas Fermat mitmesuguseid märkusi, pakkudes välja uusi lahendusi, parandusi ja Diophantuse meetodite üldistusi, samuti mõned oletused, näiteks Fermati viimane teoreem, mis hõivas matemaatikuid tulevastele põlvedele. Määratlemata võrrandid, mis on piiratud terviklahendustega, on tulnud teada, ehkki sobimatult, kui diopantiini võrrandid.
