Eukleidese geomeetria
Kui arvestada Eukleidese geomeetriat, siis on selge, et see viitab seadustele, mis reguleerivad jäikade kehade asukohti. Sellega tuleb arvestada geniaalse mõttega leida kõik kehadega seotud suhted ja nende suhteline asend väga lihtsale mõistele „kaugus” (Strecke). Kaugus tähistab jäika keha, millel on määratletud kaks materjali punkti (märgist). Kauguste (ja nurkade) võrdsuse mõiste viitab kokkusattumustele; samad märkused kehtivad kongruentsuse teoreemide kohta. Nüüd kasutab Eukleidese geomeetria sellisel kujul, nagu see meile Euklidilt kätte anti, põhimõisteid “sirgjoon” ja “tasapind”, mis ei näi vastavat või mis igal juhul, mitte nii otseselt, kogemustele jäikade kehade asendi kohta. Sellega seoses tuleb märkida, et sirgjoone kontseptsiooni võib taandada kauguse mõttele.1 Lisaks tegelesid geomeetrikud vähem oma põhikontseptsioonide ja kogemuste seose väljatoomisega, kui mõne alguses avaldatud aksioomi geomeetriliste ettepanekute loogilise tuletamisega.
Viskame lühidalt, kuidas võib vahemaa mõistest saada eukleidilise geomeetria aluse.
Alustame kauguste võrdsusest (vahemaade võrdsuse aksioom). Oletame, et kahest ebavõrdsest kaugusest on üks alati suurem kui teine. Kauguste ebavõrdsuse suhtes kehtivad samad aksioomid nagu arvude ebavõrdsuse korral.
Kolm vahemaad AB 1, BC 1, CA 1, kui CA 1 on sobivalt valitud, võivad oma märgid BB 1, CC 1, AA 1 asetada üksteisele nii, et tulemuseks oleks kolmnurk ABC. Kaugusel CA 1 on ülemine piir, mille jaoks see konstruktsioon on endiselt lihtsalt võimalik. Seejärel asetsevad punktid A, (BB ') ja C sirgjooneliselt (määratlus). See viib mõistete juurde: kauguse tekitamine iseendaga võrdse summa võrra; vahemaa jagamine võrdseteks osadeks; väljendades vahemaad arvuga mõõtevarda abil (kahe punkti vahelise ruumi intervalli määratlus).
Kui kahe punkti vahelise intervalli kontseptsioon või vahemaa pikkus on sel viisil saavutatud, vajame Eukleidese geomeetria analüütiliselt jõudmiseks ainult järgmist aksioomi (Pythagorase teoreem).
Igale ruumipunktile (võrdluskeha) võib anda kolm numbrit (koordinaadid) x, y, z - ja vastupidi - nii, et iga punktipaari A jaoks (x 1, y 1, z 1) ja B (x 2, y 2, z 2) kehtib teoreem:
mõõtühik AB = sqroot {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
Kõiki järgmisi eukleidilise geomeetria kontseptsioone ja väiteid saab sel alusel üles ehitada puhtloogiliselt, eriti ka sirgjoone ja tasapinna kohta.
Nende märkuste eesmärk ei ole muidugi asendada eukleidilise geomeetria rangelt aksiaalset ehitust. Soovime vaid usutavalt näidata, kuidas saab kõiki geomeetria kontseptsioone jälgida kauguse mõistetega. Sama hästi oleksime võinud kogu eukleidilise geomeetria aluse kirjeldada eelmises teoreemis. Seos kogemuse alustega oleks sel juhul esitatud täiendava teoreemi abil.
Koordinaadi võib ja tuleb valida nii, et kaks Pythagorase teoreemi abil arvutatud võrdsete intervallidega punktipaari langeksid kokku ühe ja sama sobivalt valitud vahemaaga (tahke).
Eukleidese geomeetria kontseptsioonid ja ettepanekud võivad tuleneda Pythagorase ettepanekust ilma jäikade kehade sisse viimata; kuid nendel mõistetel ja ettepanekutel pole siis sisu, mida saaks testida. Need ei ole “tõesed” väited, vaid üksnes loogiliselt korrektsed, puhtformaalse sisuga väited.
