Riemann zeta funktsioon, funktsioon, mis on arvuteoorias kasulik algarvude omaduste uurimiseks. Kirjutatud kujul ζ (x), defineeriti see algselt lõpmatu seeriana (x) = 1 + 2 −x + 3 −x + 4 −x + ⋯. Kui x = 1, nimetatakse seda jada harmoonilisteks jadadeks, mis suurenevad sidumata, st selle summa on lõpmatu. Väärtuste x korral, mis on suuremad kui 1, läheneb järjestikuste arvude lisamisel seeria lõplikuks arvuks. Kui x on väiksem kui 1, on summa jälle lõpmatu. Zeetafunktsiooni tundis Šveitsi matemaatik Leonhard Euler 1737. aastal, kuid esimest korda uuris seda põhjalikult saksa matemaatik Bernhard Riemann.
Aastal 1859 avaldas Riemann paberi, milles on esitatud selge valem primaaride arvu kohta kuni mis tahes eelnevalt määratud piirini - otsustatud parandamine algarvu teoreemi antud ligikaudse väärtuse suhtes. Riemann'i valem sõltus aga nende väärtuste teadmisest, mille korral zeta funktsiooni üldistatud versioon võrdub nulliga. (Riemann zeta funktsioon on defineeritud kõigi kompleksarvude jaoks - vormi x + iy numbrid, kus i = ruutjuur √ − 1 - välja arvatud sirge x = 1.) Riemann teadis, et funktsioon võrdub nulliga kõigi negatiivsete paaride korral täisarvud −2, −4, −6,
(niinimetatud triviaalsed nullid) ja et sellel on lõpmatul arvul nulle kriitilises ribas keeruliste numbritega joonte x = 0 ja x = 1 vahel ning ta teadis ka, et kõik mittetriviaalsed nullid on kriitilise suhtes sümmeetrilised line x = 1 / 2. Riemann arvas, et kõik mittetriviaalsed nullid asuvad kriitilisel joonel. See on oletus, mis hiljem sai nimeks Riemanni hüpotees.
Aastal 1900 nimetas saksa matemaatik David Hilbert Riemanni hüpoteesi üheks kõige olulisemaks küsimuseks kogu matemaatikas, millele viitab ka see, et see kanti tema mõjukasse 23 lahendamata probleemi nimekirja, millega ta esitas väljakutse 20. sajandi matemaatikutele. Inglise matemaatik Godfrey Hardy tõestas 1915. aastal, et kriitilisel joonel on lõpmatu arv nulle ja 1986. aastaks näidati, et esimesed 1 500 000 001 mittetriviaalset nulli asuvad kriitilisel joonel. Ehkki hüpotees võib veel osutuda valeks, on selle raske probleemi uurimine rikastanud keerukate arvude mõistmist.
