Riemann hüpotees matemaatika

Riemann'i hüpotees, arvude teooria, on saksa matemaatiku Bernhard Riemann'i hüpotees Riemann zeta funktsiooni lahenduste asukoha kohta, mis on ühendatud algarvu teoreemiga ja millel on oluline tähtsus algarvude jaotusele. Riemann sisaldas hüpoteesi artiklis "Monatsberichte der Berliner Akademie" 1859. aasta novembri väljaandes ilmunud artiklis “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse” (“Algusarvude arv on väiksem kui etteantud kogus”). Berliini Akadeemia ”).

Zeta funktsiooni defineeritakse kui lõpmatut seeriat ζ (s) = 1 + 2 ^−s + 3 ^−s + 4 ^−s + ⋯ või kompaktsemas tähistuses, kus n-i tingimuste liitmine (Σ) kulgeb positiivsete täisarvude kaudu 1-st lõpmatuseni ja s on fikseeritud positiivne täisarv, mis on suurem kui 1. Zeta funktsiooni uuris Šveitsi matemaatik Leonhard Euler 18. sajandil. (Sel põhjusel nimetatakse seda mõnikord Euleri zeta funktsiooniks. Ζ (1) jaoks on see sari lihtsalt harmooniline sari, mida antiikajast alates teatakse suureneda ilma sidumata - st selle summa on lõpmatu.) Euler saavutas kohe kuulsuse, kui ta osutus aastal 1735, et ζ (2) = π ² /6 probleem, mis oli eluded suurim matemaatikud ajastu, sealhulgas Šveitsi Bernoulli pere (Jakob Johann ja Daniel). Üldisemalt avastas Euler (1739) seose paarisarvude Zeeta funktsiooni väärtuse ja Bernoulli arvu vahel, mis on Taylori seeria x / (e ^x - 1) laienemise koefitsiendid. (Vt ka eksponentsiaalset funktsiooni.) Veelgi hämmastavam - avastas Euler 1737. aastal zeeta funktsiooni valemi, mis hõlmab positiivsete täisarvude lõpmatu terminijada ja iga algarvu hõlmava lõpmatu korrutise liitmist:

Riemann laiendas zeeta funktsiooni uurimist, et hõlmata kompleksarvu x + iy, kus i = ruutjuur √ − 1, välja arvatud sirge x = 1 komplekstasandil. Riemann teadis, et zeta funktsioon võrdub nulliga kõigi negatiivsete paarisarvude −2, −4, −6,

(nn triviaalsed nullid) ja selle keeruliste arvude kriitilises ribas on lõpmatu arv nulle, mis jäävad rangelt sirgete x = 0 ja x = 1 vahele. Ta teadis ka, et kõik mittetriviaalsed nullid on sümmeetrilised kriitiliseks piiriks x = ¹ / ₂. Riemann arvas, et kõik mittetriviaalsed nullid asuvad kriitilisel joonel. See on oletus, mis hiljem sai nimeks Riemanni hüpotees.

1914 inglise matemaatik Godfrey Harold Hardy tõestas, et lõpmatu arv lahused ζ (s) = 0 sellise kriitiliseks piiriks x = ¹ / ₂. Hiljem näitasid erinevad matemaatikud, et suur osa lahendustest peab paiknema kriitilisel joonel, ehkki sagedased tõendid selle kohta, et sellel asuvad kõik mittetriviaalsed lahendused, on ekslikud. Lahenduste testimiseks on kasutatud ka arvuteid, kus on näidatud, et esimesed 10 triljonit mittetriviaalset lahendust asuvad kriitilisel joonel.

Riemann'i hüpoteesi tõendusmaterjalil oleks kaugeleulatuvad tagajärjed numbriteooriale ja primaaride kasutamisele krüptograafias.

Riemann'i hüpoteesi on pikka aega peetud matemaatika suurimaks lahendamata probleemiks. See oli üks kümnest lahendamata matemaatilisest probleemist (trükitud aadressil 23), mida esitas 20. sajandi matemaatikutele väljakutse Saksa matemaatik David Hilbert 8. augustil 1900 Pariisis toimunud teisel rahvusvahelisel matemaatikakongressil. 2000. aastal ameerika matemaatik Stephen Smale värskendas Hilberti ideed 21. sajandi oluliste probleemide loeteluga; Riemann'i hüpotees oli number üks. Aastal 2000 määrati see aastatuhande probleemiks, mis on üks seitsmest matemaatikaülesandest, mille valis USA-s Cambridge'i savi matemaatika instituut eriauhinna saamiseks. Iga aastatuhande probleemi lahendus on miljoni dollari väärtuses. 2008. aastal nimetas USA kaitsealaste teadusuuringute arendusprojektide amet (DARPA) ühe DARPA matemaatilise väljakutse hulgast, 23 matemaatiliseks probleemiks, mille jaoks ta taotles teadusuuringute ettepanekuid rahastamiseks - “Matemaatiline väljakutse üheksateist: määrake Riemann'i hüpotees. Numbriteooria Püha Graal. ”